参考:FreeFem、featool2

Poisson Equation

泊松方程求解标量椭圆方程:

其中,dts是时间标度系数,D是扩散系数,f是标量源项。u_0为初始值。

Convection and Diffusion

对流和扩散物理模拟化学物质的质量传输和反应:

其中,dts是时间标度系数,D是扩散系数,R是反应速率源项,u是对流矢量速度场。c_0为初始值。

对于对流效应占主导地位的对流和扩散问题,宜采用人工稳定的方法。允许各向同性人工扩散、各向异性流线扩散和冲击稳定捕捉。还提供了转向系数来控制引入的人工扩散强度。

Conductive Media DC

电势和电流可以通过导电介质直流物理模型来模拟。为了描述电流和电势的流动,首先将电场定义为𝐄=∇𝑉。此外,电流密度J与电场的关系 𝐉=𝜎𝐄。假设电流守恒,就可以建立电流密度的连续性方程,∇⋅𝐉=𝑄表示source项

Electrostatics

静电物理模式是导电介质直流模式的扩展,考虑来极化矢量P

式中,𝜖是介电常数,𝜌是电荷密度源项。

Magnetostatics

静磁物理模型简化了麦克斯韦方程,并在二维空间求解

对于z方向的磁矢势,其中,𝜖为磁导率,𝐌为磁化矢量,𝐽为电流密度。在三维中,方程被简化为排除电流,从而将其简化为求解标量磁势𝑉𝑚

Heat Transfer

传热物理模型通过以下控制方程来模拟对流和传导中的热传递以及热的产生

式中,𝜌是密度,𝐶𝑝是热容,𝑘是导热系数,𝑄是热源项,𝐮是矢量对流速度场。

对于具有主要对流效应的传热问题,建议采用人工稳定。按下下方的人工稳定按钮打开相应的对话框,允许添加各向同性人工扩散、各向异性流线扩散和冲击捕捉稳定。还提供了转向系数来控制引入的人工扩散的强度。

Euler-Bernoulli Beam

Euler-Bernoulli梁的物理模式在梁和杆的一维表示中模拟位移、应力和应变。位移的Euler-Bernoulli方程

式中,𝜌是梁材料密度,A是横截面积,E是弹性模量,I是横截面惯性矩,q是任何分布荷载。

Plane Stress

平面应力物理模式模拟了薄结构中结构应力的形成,其中应力的平面分量可以忽略或视为零。在这种情况下,应力-应变关系可以写成

式中,𝐸是弹性模量或杨氏模量,𝜈是材料的泊松比。应变与材料位移(𝑢,𝑣)有关

应力平衡方程最终给出了所得到的控制方程组

式中,𝐹𝑥和𝐹𝑦分别是x和y方向上的体积(体)力。

还可以添加可选的应力-应变-温度依赖关系,其形式为

式中,𝛼是热膨胀系数,而𝑇可以是规定的温度场、表示温度的另一物理模式的因变量名称,或者是𝑇-𝑇𝑟𝑒𝑓的组合。

Plane Strain

与平面应力物理模式一样,平面应变模式模拟了结构中如何形成结构应力,但位移的z分量可以忽略或视为零。在这种情况下,应力-应变关系可以写成

Axisymmetric Stress-Strain

轴对称应力-应变物理模型模拟了圆柱和旋转对称几何体中的应力和应变的行为。模型方程由全三维简化为二维切片。在这种情况下,应力-应变的平衡方程(适用于半平面r>0,r=0为对称轴)可以写成

式中,𝐹𝑟和𝐹𝑧分别是r和z方向上的体积(体)力。平衡方程和本构关系

唯一定义要求解的方程。这里𝐸是弹性模量或杨氏模量,𝜈是材料的泊松比。应变与材料位移(𝑢,𝑤)有关

在偏微分方程公式中,因变量u被u/r代替,以避免在对称线上被零除(因此包括u在内的自定义后处理表达式应改为使用r*u)。

Linear Elasticity

线弹性物理模型模拟了固体结构中结构应力的形成,其中应力-应变关系可以写成

这里𝐸是弹性模量或杨氏模量,𝜈是材料的泊松比。应变与材料位移(𝑢、𝑣、𝑤)有关

应力平衡方程最终给出了所得到的控制方程组

式中,𝐹𝑥、𝐹𝑦和𝐹𝑧分别是x、y和z方向上的体积(体)力。

还可以添加可选的应力-应变-温度依赖关系,其形式为

式中,𝛼是热膨胀系数,而𝑇可以是规定的温度场、表示温度的另一物理模式的因变量名称,或者是𝑇-𝑇𝑟𝑒𝑓的组合。

Darcy’s Law

达西定律通过这个关系式来模拟多孔介质流动中的压力p

式中,𝜅表示渗透率、𝜂粘度、F源和汇,𝑑𝑡𝑠表示时间标度系数。

达西定律物理模式允许规定三种不同的边界条件。下表总结了规定的压力、流量和绝缘边界条件

Brinkman Equations

Brinkman方程的物理模式模拟了多孔介质的流动,可以看作是达西定律和Navier-Stokes方程的结合。Brinkman方程定义如下

对于未知的速度场𝐮和压力𝑝求解。在这些方程中,𝜌表示流体的密度、粘度和渗透率,此外,𝐅表示作用在流体上的作用力。

Navier-Stokes方程的物理模式模拟了不可压缩流体的流动,用

对于未知的速度场𝐮和压力𝑝求解。在这些方程中,𝜌表示流体的密度,𝜇表示动态粘度,此外,𝐅表示作用在流体上的力。

由于网格分辨率有限,湍流效应通常必须近似。这可以通过使用湍流模型来实现。

对于具有主导对流效应的流动问题,建议使用人工稳定。

Swirl Flow

旋流物理模型是轴对称Navier-Stokes方程的推广,它考虑了非零方位角速度(旋流效应)。二维物理模式允许三维速度场和相应的动量方程。

Euler Equations

无粘可压缩流的欧拉方程由

对于原始变量密度场、速度场和压力场进行求解。

由于无粘流动问题不具有稳定粘度的特性,也可能具有不连续冲击的特性,因此有必要增加人工稳定。按下下方的人工稳定按钮打开相应的对话框,允许添加各向同性人工扩散、各向异性流线扩散和冲击捕捉。还提供了转向系数来控制引入的人工扩散的强度。

Fluid-Structure Interaction

流体-结构相互作用(FSI)物理模式支持层流流体和固体材料相互作用的建模和仿真。流场由Navier-Stokes方程控制

而固体是用平衡方程来模拟的

2. https://www.featool.com/doc/physics.html#phys_modes