singular value decomposition

任意函数可以展开成vj基函数的形式

The maximum amplitude of output for a given input amplitude?

M的作用如图所示,对圆盘进行拉伸和旋转

LwZXFj6hszUPMEn

SVD截断

A least squares solution x0 that minimises $|M x-b|$.

全局稳定性分析方法

我们来考虑N-S方程的统一动力学形式:

N 是 Navier-Stokes operator.

定义base flow

The temporal evolution of perturbations q’

the linearized Navier-Stokes operator about the base flow, also called the Jacobian of the system

A global linear stability analysis consists of searching modes of the form

reduces N-S equation into the eigenproblem:

The corresponding eigenvalues characterize the stability of $q_b$: if an eigenvalue $\lambda_i$ has a positive real part $\delta_i = real(\lambda_i)$ (positive growth rate), then the base flow is unstable. Imaganry part means the oscillating mode at a frequency $w_i$.

Resolvent analysis for the of pseudo-resonance

另一种全局方法,被称为预解分析,包括研究外部作用力对baseflow的影响流动而不是专注于自我维持的振荡。类似在机械振动领域的谐波激励下的稳态响应。这个提法最初Trefethen引入,1993.

Resolvent analysis最早应用是在稳定性和转捩中的nonmetal analysis中运用。例如在寻找线性方程组的矩阵时间指数的范数,对transient growth的研究,e-pseudospectra, 以及定义线性NS在对外部forcing最大反馈的比例。

基本形式可以写成:

代入上式可得:

R 被称为resolvent operator, 或者叫放大因子。

The optimal forcing which maximizes the energy gain G

Mean flow stability vs base flow stability analysis

In some cases (e.g. the cylinder flow), the frequency selection process is strongly driven by nonlinear effects. 因此,线性基流稳定性分析不能正确地预测流体的动力学行为,而这产生不满足RPIF(((real part positive) with a frequency (the imaginary part))属性的情况.

最终的结论是mean flow 比base flow 更有效。

整体程序框架

考虑因素:stability analysis、resolvent analysis、Arbitrary Lagrangian Eulerian methods 可考虑流固耦合的统一框架、implicit newton approach for non-linearity、选用成熟的FVM或者FEM开源C++求解器、小扰动假设,主要关心的问题在于流体或者固体起振之初,比如失速起始、无量纲化

固体域$\Omega_s$:

其中,$M_s$是质量矩阵,P为Kirchhhoff 应力张量.

另外,对于可压固体,我们还需要对其密度进行修正:

流体域:

暂时考虑不可压的N-S方程:

$\sigma$ 为Cauchy 应力张量,跟流体的形变和雷诺数又关系。

  • 固体域使用Lagrangian框架、流体域使用Eulerian框架,这样的好处是表达更加自然美观。

Arbitrary Lagrangian Eulerian methods

在于考虑相互的交界面:

因此,得到extension displacement in the reference fluid domain:

链式法则,

最终,ALE formulation of N-S equation:

对比之前的N-S,我们可以发现

弱解形式,应用FEM求解

freefem++ 参考代码:https://github.com/ERC-AEROFLEX/ALE

rXF4QRH9AY2o3f7

2.1.2公式转化为稳定性问题:

简化矩阵:

问题? 如何衔接到n-periodic的模型上面去?

Linear Stability Analysis 更深一层次的理解

ULzlsMHcmNjKaQt

这是一个Duffing oscillator动力学系统,用相空间的形式表示。

如图,可以看到三个fixed point, 或者称为equilibrium points $\mathbf{X}^{*}$。

找到equilibrium points之后,我们需要来判断这个状态是stable还是unstable的。 Lyapunov stability的解释是,过了很长时间能回到equilibrium points。

首先,假设系统的perturbation满足如下动力学方程:

根据Taylor 公式在平衡点展开,

$\mathcal{A}$ 为Jacobian matrix of F.

也就是说,假设给定初始条件x_0, x可以解析得到:

我们对A进行spectral decomposition:

得到x的另外一种表达形式:

可以发现,其特征值如果按照实部从大到小排列,

也就是说,$\lambda_1$就决定了系统的稳定性,如果实部大于0,那么系统就会呈指数增长,即线性不稳定;如果实数小于0,那么系统就会指数衰减,即线性稳定。实数等于0的情况较为特殊,无法直接判断,需要再继续判断A的二阶Taylor展开。

这里主要针对长时间的稳定性问题,短时间内需要后面再进行理论的探讨。

Non-modal Stability Analysis 更深一层次的理解

给一个例子,

其特征值为

BGn9c6FSzyHPpmL

根据特征值,可以判断长时间内的衰减趋势。但是短时间内,两者都大幅度的指数放大。这是在之前Stability Analysis无法解释的。

这是由于矩阵A的non-normality所带来的:

$\mathcal{A}^{\dagger} $为伴随矩阵,它具有非常好的性质。关于伴随矩阵和逆矩阵的关系,和其性质,参考链接

As a result of this non-normality, the eigenvectors of A do not form an orthonormal set of vectors。

长时间的过程,都会趋向于线性稳定。但是,non-modal在短时间内可能会造成瞬时复制增大。本质是应为non-modal的矩阵性质,分解得到非正交的特征,物理上表现在更初始值的选取有关。但一旦逼近平衡点,就会按照平衡点的性质稳定下来。

wAX8iOZQloK1sdT

从图中解释,目前这两个特征值是非正交的,初始的选取位置不一样,造成短期的增长效应。但如果是正交的,那么类似于垂直的网格布置,两个特征值的互不影响,这样也就是说,直接取消于稳定点的趋势。

Optimal Perturbation Analysis 紧接着引出

也就是,即使是stable的点逼近,但是短时间内也可能产生大的放大响应,找到最大的放大点是一个非常有意思的问题。

两个策略:

求优化问题

并转化为:

SVD

引入SVD分解:

那么,最大的特征值即为最大能量响应:

其对应的初始x_0 由对应的右奇异特征值给出。

Resolvent Analysis

the response of the system to the forcing f(t) 表现为卷积的形式:

Consider linear stable systems,influence of the forcing on the current state decays exponentially according to the least stable eigenvalue。

根据卷积和傅立叶变换的性质,可以很容易的得到响应矩阵,这个矩阵也叫做Resolvent operator:

类似,寻找最大的响应放大因子:

同样,可以利用SVD寻找到最大的奇异值:

线化不可压N-S方程

将均匀项和脉动量分开

fluaction equation:

RANS equation: (w=0)

消除压力项:

pressure Poisson equation

分解得到:

mean component

frequency component

代入到前面的fluaction equation,消去压力项:

前面的推导的具体过程参考5

最后总结框图如下:

zq6xJZXC1MmSkjY

首先,我们将速度和压力分解,

预解算子:

对管道坐标系来说:

见代码:https://github.com/mluhar/resolvent

McKeon & Sharma (2010), 做的是在管道里面。

预解算子的边界条件

硬壁面无滑移边界条件

对于软壁面边界条件的思路🤔:

Complex wall admittance linking pressure and velocity。2

Impose boundary conditions for Navier-Stokes Resolvent This accounts for a simple compliant surface model, which essentially leads to a harmonic-motion relationship between pressure and velocity。

探究谐波响应激起的最大压力响应,而非速度 1

possion equation:

boundary condition at the wall:

构建格林公式满足:

可以解析得到压力对格林公式的表达式:

加强筋边界-channel

Solid obstructions within the fluid domain—riblets in our case—are modeled as a spatially varying permeability function Kx; y; z,

which appears as an additional body force in the momentum equations. 3

【方程1】

在流体域,K趋向于∞;在固体域,K趋向于0;

【方程2】

同样的,meanflow也会呈现类似的周期性特征:

【方程3】

在此之上,脉动小量被提取出来:可以看到,均匀流与x的方向无关

【方程4】

代入动量方程,均匀量满足关系:

【方程5】

脉动量满足:

【方程6】

将总结的均匀流的周期性特性【方程2、3】代入到【方程5】,得:

【方程7】

脉动量方程6的分解形式:

【方程8】

方程8可以整理成矩阵的形式:

【方程9】

可以发现,k和k_s空间波数耦合。k_s在压气机中类似叶片扫过的均匀流。nk_s 表示其多阶谐波。

将方程9整理成输入和输出的形式:

5BwlntKCqVDFgLd

最终,写成简洁的形式:

SVD分解

对预解算子重新整理:

f_k仅仅于速度有关系,因此也可以写成:

svd分解:

对应的force mode:

对应的response mode:

基函数满足正交性质:

响应的放大程度表现在奇异值的大小。

整体目标:把握信号的特点和机理的关系,构建模型

验证模型1:

2d,周期性变换,均匀流,环形

vr9RPjEkQKbngWa

优点:定向分析,目前论文分析流肋条大小对减阻对效果

缺点:未考虑湍流的影响

pbPI1GfrgXD8MKF

验证模型2:

循环矩阵,应用到上述的模型1中,DNS(湍流模型)

优点:模型1的局部可以得到涡流的细节,利用peter schmid 循环矩阵的思路,再进行周期化,并做预解分析

验证模型3:

L92kulKhwQV6YqG

https://su2code.github.io/tutorials/Unsteady_NACA0012/

https://su2code.github.io/tutorials/Inc_Turbulent_NACA0012/

https://su2code.github.io/tutorials/Unsteady_Shape_Opt_NACA0012/

http://www.cemeai.icmc.usp.br/projetos/item/965-simulacoes-numericas-de-turbulencia-em-asas-de-aeronaves

1oVPinqMW5vJfSN

可压的resolvent anlaysis N-S model

参考教材6

可压LES model (Mach > 0.2,Mach < 6)

基本方程推导

推导

能量方程可以写成焓的表达形式:

viscous dissipation

能量方程可以写成internal energy的表达形式:

能量方程可以写成pressure的表达形式:

能量方程可以写成entropy的表达形式:

LES的滤波概念:尺度分离

假设湍流各向同性、均匀性。滤波器特性与坐标系无关。非各向同性可以利用非中心滤波器。滤波本质是卷积的思想。无非类似空间的格林函数。

其中,cut-off scale in space and time,$\Delta$ ,$\tau_{c}$.

该方程可写成时域的简化形式:

转化为频域,

或者:

non-resolved part:

常用的三种滤波器类型:

利用taylor公式:

代入公式后,得

我们的目标当然是整理成矩阵的离散形式:

Commutation Error

这里是建模的核心。

LES 方程

利用滤波器Favre Filtering

分别分解为低频项和高频项

主控方程组:

【方程1】

【方程1滤波形式】:方程整体滤波,卷积核函数操作,不可避免引入Commutation Error,通常密度最稳定,分离误差较小。

【方程2-焓的形式】

viscous dissipation

【方程2-焓的滤波形式】:

最终写成(此处漏掉了一些推导过程):

【方程2-温度的形式】

【方程2-温度的滤波形式】

简化成:

【方程2-压力的形式】

【方程2-压力的滤波形式】

简化:

【方程2-熵的形式】

【方程2-熵的滤波形式】

【方程3-状态方程】

【方程3-状态方程的滤波形式】

第二项没有办法直接计算,因此,需要引入模型。

【模型】:还有一些变参数模型,不具体介绍

等价:

【方程4-Total Energy】

【方程4-Total Energy滤波形式】

简化:

还有一些类似的模型,具体见📖。

【方程5-动量方程】

【方程5-动量方程滤波形式】

这里,模型还略去了压力的脉动量,也就是说,声学小扰动项不在les作为重点考虑。

Resolvent analysis of compressible N-S equation

可压N-S方程:

strain and stress tensor:

steady version of compressible Navier- Stokes equations:

脉动量:

上述方程是基于baseflow的。一些论文结果表明,在线性稳定性分析过程中,其结果不理想。

接下来,用真正的meanflow再分析一波:周期性满足下,对t的导数为0;

代入

可以写成:

Weak form of incompressible N-S equation

其弱解形式:

整个过程需要考虑边界条件:

最终,整理出易于编写代码的形式:(引入分步积分)

通过Newton Iteration求解base-flow

首先猜测初始值,然后不断的求梯度逼近,

代入上面的式子,类似taylor分解操作:

同样整理成弱解形式:

其中,

最后整理出如下形式:

Linear Stability

将参数分解为baseflow和脉动量的表达形式,导入N-S方程

其弱解形式也可以写出:

最终整理出离散的矩阵形式:

Adjoint Eigenvalue Problem

Connection between adjoint and resolvent

Adjoint Eigenvalue Problem (resolvent anlaysis的再次不同理解)

前面已经提到线性N-S方程其弱解形式也可以写出:

Adjoint 形式:

代入脉动量,最后得到频域表达式:

伴随特征值和特征值互为复共轭关系。

Iterative Methods for Eigenvalue Computations

Compressible N-S equation

baseflow solution:

eigenvalue:

Meanflow

在非线性域,baseflow引入的线性小扰动假设不再成立。因此,有必要重新定义新的”baseflow“,称为:meanflow

额外兴趣发散:交大的廖世俊团队4

IENuDGJiyn4wZRW

压气机在相对坐标系下离心力的影响

1. On the structure and origin of pressureuctuations in wall turbulence: predictionsbased on the resolvent analysis
2. A framework for studying the e ect of compliant surfaces on wall turbulence
3. Resolvent Analysis for Turbulent Channel Flow with Riblets
4. On the existence of steady-state resonant waves in experiments
5. Elements of resolvent methods in uid mechanics: notes for an introductory short course v0.3
6. Large Eddy Simulation for Compressible Flows
7. phd thesis: Fluid dynamic instabilities in complexflow systems
8. Computation of the blu -body sound generation by a self-consistent mean flow formulation